Terminale STI2D
La trajectoire d'un point \(M\) en mouvement de rotation, autour d'un point central \(O\), est un cercle de rayon \(R=OM\).
Durant l'intervalle de temps \(Δt\), le point \(M\) parcours un arc de cercle \(\overset{\huge\frown}{AB}\) d'angle au centre \(θ\).
Par définition, cet angle vaut :
\[θ=\dfrac{\overset{\huge\frown}{AB}}{R}\]On peut alors exprimer la vitesse du point \(M\) :
\[ { v=\dfrac{\overset{\huge\frown}{AB}}{Δt}=\dfrac{R×θ}{Δt}=R\times\dfrac{θ}{Δt}=R\timesΩ } \]En définissant la vitesse angulaire du point \(M\) par la relation :
\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { Ω=\dfrac{θ}{Δt} } \]On en déduit la relation entre la vitesse linéaire \(v\) et la vitesse angulaire \(Ω\) du point \(M\) :
\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { v=R\timesΩ } \]Remarque. La vitesse angulaire \(Ω\) s'exprime en \(rad.s^{-1}\). En pratique, on utilise plus souvent la fréquence de rotation \(n\) exprimée en \(tr.s^{-1}\), ou \(N\) exprimée en \(tr.min^{-1}\) :
\[ { Ω=2π×n=\dfrac{2π}{60}×N } \]L'action d'une force \(\vec{F}\) sur le mouvement de rotation d'un solide dépend de deux choses : de la distance entre le point d'application \(A\) de la force et le centre de rotation \(O\), et, de la direction de cette force par rapport à la direction \((OA)\).
\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { \overrightarrow{M}_{/O}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{OA} \land \overrightarrow{F} } \] \[ { M_{/O}(\overrightarrow{F}) = \pm OA \times F \times \sin(θ) } \]Le moment est compté positif si la force \(\overrightarrow{F}\) contribue au mouvement de rotation du solide. Il est compté négatif si cette force s'oppose au mouvement du solide.
On utilise parfois la notion de "longueur de bras de levier". Cette longueur est la distance \(d\) entre la droite d'action de \(\overrightarrow{F}\) et le centre de rotation \(O\) : \( { d=OA \times \sin(θ) } \). Ainsi :
\[M_{/O}(\overrightarrow{F}) = \pm d \times F\]